Les jumeaux d’Oliver Sacks et les nombres premiers (Pepijn van Erp)

Les livres d’Oliver Sacks sont passionnants. Il y raconte les cas les plus étranges qu’il a rencontrés dans sa longue carrière de neurologue et le fait avec un certain talent. Je n’ai personnellement pas pensé à remettre en question la crédibilité des histoires qu’il y raconte, mais Pepijn van Erp a tout de même soulevé un sourcil quand il a lu, dans « L’homme qui prenait sa femme pour un chapeau » celle des jumeaux savants, capables, d’après Sacks, de prouesses étonnantes avec certains nombres. Pepijn van Erp nous explique pourquoi il est sceptique.

Article original: « Oliver Sacks’s Twins and Prime Numbers » du 9 mai 2012 sur le blog Pepijn van Erp.


Dans son livre « L’homme qui prenait sa femme pour un chapeau » (1985), Oliver Sacks décrit un cas intrigant de syndrome du savant. Il raconte l’histoire de sa rencontre avec les jumeaux John et Michael, qui avaient été placés en institution depuis leur enfance, ayant reçus les diagnostics variés d’autistes, psychotiques ou sévèrement retardés. D’autres avant Sacks avaient déjà étudié ces garçons et s’étaient aperçus qu’ils étaient très doués dans les calculs de calendrier. Pour n’importe quelle date donnée, ils pouvaient dire rapidement de quel jour de la semaine il s’agit. Sacks découvre cependant chez ces jumeaux une capacité bien plus inattendue lorsqu’il les observe en 1966. Un jour, il remarque qu’ils s’échangent des nombres à 6 chiffres et semblent se réjouir des nombres qu’ils reçoivent l’un de l’autre. Sacks note les nombres et, lorsqu’il revient à la maison, sort ses tables de puissances, facteurs, logarithmes et nombres premiers, pour s’apercevoir que les nombres mentionnés par les jumeaux sont tous premiers! Cela est d’autant plus remarquable que les jumeaux ne sont pas capables de résoudre de simples calculs et ne semblent pas comprendre la multiplication et la division.

L'homme qui prenait sa femme pour un chapeauLe jour suivant, Sacks retourne avec un livre rempli de nombres premiers et se met à jouer avec eux. Mais il commence d’emblée avec un nombre premier de 8 chiffres. Après une demi-minute (ou plus) de réflexion, les jumeaux se mettent à sourire. C’est pour Sacks un signe évident qu’ils appréciaient ce nouveau « jouet » (un nombre premier plus grand) et étaient heureux que Sacks ait compris leur jeu. Après 5 minutes de réflexion, John répond par un nombre premier de 9 chiffres et son frère emboîte le pas. Sacks choisit alors de son livre un nombre premier à 10 chiffres, puis se voit répondre, après un certain temps, avec un nombre à 12 chiffres. Étant donné que son précieux livre ne contient des nombres premiers que jusqu’à 10 chiffres, Sacks se retire du jeu. Une heure plus tard, les frères s’échangent des nombres à 20 chiffres!

J’avais déjà rencontré cette histoire il y a quelques années, mais lorsque je suis retombé dessus récemment (en lisant le livre « We are our brains » de Dick Swaab), j’ai remarqué que quelques questions sceptiques avaient été soulevées à propos de la crédibilité de ce que raconte Sacks. Une bonne raison pour moi de creuser un peu le sujet!

En 2006, Makato Yamaguchi a écrit un article dans lequel il remet en question le rapport de Sacks. La question la plus importante qu’il pose est de savoir quel livre Sacks a utilisé. Si le livre contenait effectivement tous les nombres premiers à 10 chiffres ou moins, il aurait contenu plus de 455 millions de nombres, ce qui est bien sûr irréaliste. Peut-être son livre ne contenait-il que quelques nombres premiers à 10 chiffres? Yamaguchi n’a pu trouver aucun livre disponible en 1966 qui contenait une telle liste. Sacks n’a pas pu en dire plus sur le livre en question. Il n’était pas plus capable de se rappeler quels nombres étaient impliqués. Toutes ses annotations originales et le livre ont été perdus. Sacks admet cependant que le livre pourrait n’avoir contenu que des nombres premiers allant jusqu’à huit chiffres.

Si vous lisez attentivement la description des événements par Sacks lui-même (lisez-là ici), vous remarquerez qu’il ne mentionne en réalité que les nombres premiers à 6 chiffres qu’il a vérifié chez lui ainsi que ceux qu’il tira de son livre. Il affirme ensuite qu’il a supposé que les nombres à 20 chiffres étaient premiers. Mais il n’a pas vérifié si les nombres de plus de 6 chiffres annoncés par les jumeaux étaient effectivement premiers. Bien sûr, ç’aurait été une tâche ardue en 1966, sans accès direct aux ordinateurs qu’on a aujourd’hui. Mais il semble que Sacks n’a même pas essayé de s’en assurer; il affirme juste que c’était difficile. Dans un postscript au chapitre sur les jumeaux (du moins dans la version néerlandaise que je possède), Sacks mentionne un algorithme pour tester si des nombres sont premiers. Mais sa description montre surtout qu’il n’a pas de réelles connaissances en mathématiques qui puissent faire la différence ici. Sacks s’en tient à l’idée romancée que les jumeaux avaient une sensibilité spéciale avec les nombres, qu’ils pouvaient, d’une certaine manière, trouver des nombres premiers parmi un vaste océan de nombres ordinaires. L’idée que quelqu’un puisse « voir » un nombre premier sans faire certains types de calculs, me semble néanmoins peu plausible. Peut-être certains savants idiots peuvent être plus rapides pour reconnaître ds nombres premiers, mais ça ne signifie qu’ils utilisent des méthodes inédites. Encore moins des méthodes qui ne pourraient être décrites par un algorithme.

sacks

Oliver Sacks (photo de Mars Hill Church via Flickr)

Peut-on se fier à la première partie de l’histoire: les jumeaux s’échangeaient-ils réellement des nombres premiers à 6 chiffres? Ou bien y a-t-il une autre explication plus raisonnable pour cette performance à première vue remarquable? Commençons par faire remarquer que les capacités de calcul des jumeaux n’étaient pas aussi mauvaises que ce Sacks a écrit: les chercheurs (Horwitz, entre autres) qui ont établi (en 1965) qu’ils ne pouvaient résoudre de simples calculs, écrivaient en 1969 qu’ils étaient au moins capables d’additionner des nombres à trois chiffres. Pour autant que je sache, Horwitz n’a décrit que les calculs de calendrier. Malheureusement, je n’ai pas pu avoir accès à leur article pour voir s’ils mentionnent quoi que ce soit sur leurs capacités à propos des nombres premiers.

À quel point est-il difficile de trouver un nombre premier à six chiffres? Entre 100 000 et 999 999, il y a 68 906 premiers. Quelle est la probabilité de choisir un premier, en évitant les nombres qui ne le sont pas pour des raisons évidentes? Il serait idiot de prendre un nombre pair ou un qui termine en 5: ces derniers sont bien entendu divisibles par 2 et 5 respectivement. Nombreux se rappelleront également de l’astuce pour trouver si un nombre est divisible par 3: vous ajoutez tous les chiffres du nombre, et répétez cette opération jusqu’à obtenir un chiffre dont vous pouvez facilement savoir s’il est divisible par 3. Si c’est le cas, alors le nombre original est également divisible par trois. Un exemple: 561 251 donne, en sommant ses chiffres, 20, qui lui-même donne 2, lequel n’est pas divisible par 3. On peut donc conclure que 561 251 n’est pas divisible par 3.

De telles astuces existent également pour d’autres diviseurs petits (et premiers): 7, 11, 13, 17, etc. Puisque les deux frères étaient de bon calculateurs de calendriers, ils devaient certainement être à l’aise avec la division par 7. Ou du moins savaient comment déterminer le reste d’une division par 7. Une des astuces possibles avec le 7 consiste à faire ceci: prenez les deux derniers chiffres du nombre et ajoutez-y le double de ce qui se trouvait devant ces deux derniers chiffres. Le nombre ainsi obtenu n’est divisible par 7 que si le nombre de départ était également divisible par 7. On peut répéter cette procédure jusqu’à trouver un nombre dont on peut facilement voir s’il est divisible par 7. Reprenons notre exemple de 561 251: on obtient d’abord 2 × 5 612 + 51 = 11 275, puis 2 × 112 + 75 = 299, puis 2 × 2 + 99 = 103, et enfin 2 × 1 + 3 = 5, qui n’est pas divisible par 7. Donc 561 251 n’est pas divisible par 7 non plus.

Si on exclut tous les nombres qui ne sont pas divisibles par 2, 3, 5 et 7 grâce à ces astuces, il reste 205 714 nombres à 6 chiffres. Choisir un nombre par hasard dans cet ensemble vous donne une probabilité d’environ 33% de tomber sur un nombre premier. Ce n’est pas négligeable! Si vous maîtrisez également l’astuce pour la division par 11 (qui est en fait plus facile que pour 7), la probabilité s’élève à 37%. Si les jumeaux ont utilisé cette approche et Sacks n’a noté que quelques nombres à vérifier chez lui, les chances que ces nombres soient premiers par hasard ne sont pas minces du tout. Et n’oublions pas la façon par laquelle Sacks aurait pu vérifier si ces nombres étaient premiers si son fameux bouquin n’existait pas.

Sacks mentionne le crible d'Eratosthène comme algorithme peu utile pour trouver des grands premiers. Il existe pourtant des méthodes plus faciles pour déterminer si un nombre est premier.

Sacks mentionne le crible d’Eratosthène comme algorithme peu utile pour trouver des grands premiers. Il existe pourtant des méthodes plus faciles pour déterminer si un nombre est premier.

Il serait intéressant de savoir la façon avec laquelle les nombres étaient annoncés. Sans doute pas par « cinq cents soixante et un milles deux cents cinquante et un ». C’est en tout cas difficilement imaginable pour des nombres de 20 chiffres! Il est plus probable que les nombres étaient annoncés chiffre par chiffre, comme dans un numéro de téléphone [NdT: mais prononcé à l’anglaise puisque dans le monde francophone, on a tendance à regrouper les chiffres par deux, parfois par trois]: « cinq-six-un-deux-cinq-un ». Pour appliquer les astuces des divisions par des petits facteurs, ça n’a pas beaucoup d’importance et cela pourrait expliquer le « fait » qu’ils puissent passer relativement facilement de nombres à six chiffres vers des nombres à huit chiffres ou plus.

Une facette étrange de cette histoire est que John, après avoir entendu le nombre à dix chiffres de Sacks, aurait répondu par un nombre à 12 chiffres, en sautant donc ceux à 11 chiffres. Il est possible qu’il ait pensé à un candidat à 11 chiffres, puis s’est rendu compte grâce aux astuces de division qu’il ne fonctionnait pas. Dans ce cas, on peut ajouter un chiffre impair à la fin pour voir si ce nouveau nombre fonctionne, sans trop refaire de calculs. Un exemple à nouveau: est-ce que 13 725 097 771 fonctionne? Non, pas de chances, on peut le diviser par 7. Ajoutons un « 1 » à la fin, ce qui donne 137 250 977 711. Ce nombre n’est pas divisible par 2, 3, 5 & 7. OK, bien! Mais ce nombre n’est pas premier malgré tout, car 137 250 977 711 est égal à 19 × 41 893 × 172 433.

Dans une étude de Hermelin et O’Conner (1990, Factors and primres: a specific numerical ability. Psychological Medicine, Vol. 20), les auteurs parlent d’un autre idiot savant qui utilise une stratégie similaire à celle que je décris ici. Il l’utilise pour trouver si des nombres de 4 et 5 chiffres sont premiers. Il excluait les nombres divisibles par 3 et 11, mais faisait pas mal d’erreurs.

Qu’aurait pu faire Sacks pour donner plus de crédibilité à son histoire? Il aurait pu au moins proposer des nombres à 6 chiffres qui ne sont pas faciles à démasquer comme « faux » premiers. S’il avait essayé par exemple 254 539, qui est égal à 331 × 769, il aurait été intéressant d’observer la réaction des jumeaux (331 et 769 sont tous deux premiers). Peut-être auraient-ils été tout autant satisfaits par ce nombre piège que par les vrais nombres premiers. Cela aurait pu être une indication qu’ils utilisaient effectivement des trucs pour éliminer les petits diviseurs.

Nous ne saurons probablement jamais de quoi les jumeaux étaient réellement capables si Sacks ne peut pas donner plus de détails sur ce qui s’est passé. Il est difficile de ne pas avoir l’impression que l’histoire a été un peu « pimentée ». Les capacités de calcul de calendrier des jumeaux étaient plutôt impressionnants, mais pas uniques. Peut-être Sacks a-t-il été tenté de présenter des capacités encore plus impressionnantes que ce qu’on pouvait déjà trouver dans la littérature. Pourquoi a-t-il attendu 1985 pour publier cette histoire, près de 20 ans plus tard? Sacks n’était en tout cas clairement pas intéressé d’obtenir de meilleures preuves de son hypothèse. Ou peut-être ne comprenait-il pas suffisamment les mathématiques en question pour la tester correctement.

Alors que je terminais d’écrire la version originale en néerlandais de cet article, je suis tombé sur un commentaire de blog sur le même sujet. Il existe en fait un candidat potentiel pour le livre que Sacks prétend avoir utilisé: D.N. Lehmer, List of Primer Numbers from 1 to 10,006,721. Washington, D.C., Carnegie Institution of Washington, 1914. xvi+ 133 pp. Le livre de Lehmer suffirait pour vérifier les nombres à 6 chiffres des jumeaux et il contient également queluqes nombres à 8 chiffres que Sacks pourrait avoir utilisé. D’après le titre du livre, il ne semble pas qu’il y ait des nombres à 10 chiffres, mais il se peut qu’il y ait en annexe quelques nombres premiers connus à 8 chiffres et plus. J’ai envoyé un e-mail à Sacks avec cette suggestion. Je n’ai pas eu de nouvelles, si ce n’est une aimable réponse de son assistante précisant que ma suggestion lui avait été communiquée (il semble qu’il n’utilise pas d’ordinateur).

Pour terminer, Makato Yamaguchi m’a fait découvrir une vidéo YouTube des jumeaux faisant preuve de leurs capacités de calculs de calendrier. Vous pouvez vérifier les jours et dates vous-mêmes, personnellement je n’ai trouvé aucune erreur.


Laisser un commentaire

Entrez vos coordonnées ci-dessous ou cliquez sur une icône pour vous connecter:

Logo WordPress.com

Vous commentez à l'aide de votre compte WordPress.com. Déconnexion / Changer )

Image Twitter

Vous commentez à l'aide de votre compte Twitter. Déconnexion / Changer )

Photo Facebook

Vous commentez à l'aide de votre compte Facebook. Déconnexion / Changer )

Photo Google+

Vous commentez à l'aide de votre compte Google+. Déconnexion / Changer )

Connexion à %s